{"id":919,"date":"2020-06-16T13:54:02","date_gmt":"2020-06-16T13:54:02","guid":{"rendered":"https:\/\/website.prod.unilu.spikeseed.cloud\/fr\/news\/les-mathematiques-un-grand-defi-de-cette-pandemie\/"},"modified":"2020-06-16T13:54:02","modified_gmt":"2020-06-16T13:54:02","slug":"les-mathematiques-un-grand-defi-de-cette-pandemie","status":"publish","type":"news","link":"https:\/\/www.uni.lu\/fr\/news\/les-mathematiques-un-grand-defi-de-cette-pandemie\/","title":{"rendered":"Les math\u00e9matiques, un grand d\u00e9fi de cette pand\u00e9mie"},"content":{"rendered":"

\u00ab\u00a0190 nouvelles infections d\u00e9tect\u00e9es\u00a0\u00bb, \u00ab\u00a0seuil des 2000 infections d\u00e9pass\u00e9\u00a0\u00bb : que de nouvelles choquantes pour la population du Luxembourg en cette soir\u00e9e du 31 mars 2020 ! Pourquoi se confiner si visiblement les mesures prises ne servent \u00e0 rien ? Quand la vie pourrait-elle reprendre son cours normal ? Voil\u00e0 des questions que se sont sans doute pos\u00e9es de nombreux habitants du Grand-Duch\u00e9, soucieux non seulement des restrictions li\u00e9es aux mesures impos\u00e9es, mais aussi bien s\u00fbr des cons\u00e9quences financi\u00e8res.<\/p>

Alors que ces pr\u00e9occupations et l\u2019aspiration \u00e0 un retour \u00e0 la normale apparaissent tout \u00e0 fait l\u00e9gitimes, la critique \u00ab les mesures prises ne servent \u00e0 rien\u00a0\u00bb ne l\u2019est pas. Depuis mars, une avalanche de nombres s\u2019abat quotidiennement sur nous. Sans compr\u00e9hension math\u00e9matique basique, il est difficile voire impossible de s\u2019y retrouver, et d\u2019en extraire les informations utiles. Quoi, les math\u00e9matiques, ce domaine difficile et craint par tant de gens ? Cette science dont certains sont parfois fiers d\u2019affirmer qu\u2019ils n\u2019y ont jamais rien compris, et dont on se demande parfois \u00e0 quoi elle sert dans la vie ? Oui, exactement, ces math\u00e9matiques-l\u00e0, qui sont d’ailleurs omnipr\u00e9sentes dans notre vie quotidienne ! A travers cet article, nous esp\u00e9rons montrer comment une meilleure connaissance de notions math\u00e9matiques fondamentales, particuli\u00e8rement de notions statistiques, permettrait de mieux comprendre l\u2019\u00e9volution du virus et, par la m\u00eame occasion, les mesures de confinement et d\u00e9-confinement adopt\u00e9es par le gouvernement.<\/p>\n

\nComment lire et interpr\u00e9ter correctement les nombres<\/h3>\n

Revenons-en aux 190 nouvelles infections d\u00e9tect\u00e9es le 31 mars 2020, portant le nombre total d\u2019infect\u00e9s \u00e0 2178. On ne peut pas interpr\u00e9ter ce nombre sans conna\u00eetre le contexte sp\u00e9cifique dans lequel il est obtenu. Si la veille, \u00e0 savoir le 30 mars le nombre total d\u2019infections d\u00e9tect\u00e9es avait \u00e9t\u00e9 de 190, alors tr\u00e8s clairement 190 nouvelles infections aurait \u00e9t\u00e9 une croissance \u00e9norme, correspondant \u00e0 un doublement des cas positifs d\u2019un jour \u00e0 l\u2019autre. Pareille \u00e9volution montrerait les cons\u00e9quences n\u00e9fastes d\u2019une croissance incontr\u00f4lable, d\u00e9velopp\u00e9e dans le paragraphe ci-dessous \u00ab\u00a0La fameuse croissance exponentielle et le temps de doublement\u00a0\u00bb<\/strong>. Or il faut bien voir qu\u2019au 30 mars, le Luxembourg comptait 1988 infections d\u00e9tect\u00e9es \u2013 le d\u00e9passement du seuil des 2000 \u00e9tait donc quasi certain. Mais il y a plus frappant que cela.<\/p>

Compar\u00e9es \u00e0 1988 infections d\u00e9tect\u00e9es, 190 nouvelles infections repr\u00e9sentent une croissance de 9.6% (= (2\u00a0178-1988)\u00a0\/ 1988). Mais 14 jours plus t\u00f4t, quand on est pass\u00e9 de 140 \u00e0 203 infections d\u00e9tect\u00e9es, cela repr\u00e9sentait une croissance bien sup\u00e9rieure, \u00e0 savoir 45% (= (203-140) \/ 140) ! En regardant les nombres dans leur contexte, c’est-\u00e0-dire en analysant les taux de croissance au lieu des nombres totaux (qui, eux, sont plut\u00f4t importants pour la planification de la prise en charge hospitali\u00e8re), on se rend bien mieux compte de la r\u00e9alit\u00e9 de la situation. Et on comprend que oui, le confinement avec ses mesures strictes a bel et bien fait son effet, comme le montre le graphique ci-dessous.<\/p>

\n \n\"\"\n

\n Graphique du site web coronavirus sur gouvernement.lu., consult\u00e9 le 27 mai <\/p>\n <\/figure>

Le Luxembourg est actuellement en phase de d\u00e9-confinement. Le pays peut se le permettre, vu le nombre restreint de nouveaux infect\u00e9s, tout en gardant bien s\u00fbr en t\u00eate qu\u2019il faut rester prudent et suivre les r\u00e8gles afin d\u2019\u00e9viter une seconde vague.<\/p>

Le petit raisonnement pr\u00e9c\u00e9dent illustre l\u2019essence de notre message\u00a0: il est capital, pour tout un chacun, d’avoir une compr\u00e9hension plus profonde des nombres qui nous racontent des histoires. Il est par exemple bien utile d’avoir une id\u00e9e claire sur la diff\u00e9rence entre la notion de moyenne et la notion de m\u00e9diane. La premi\u00e8re notion, qui repr\u00e9sente la somme des donn\u00e9es divis\u00e9e par leur nombre, est tr\u00e8s sensible aux valeurs extr\u00eames : elle peut se retrouver fortement chang\u00e9e par une valeur tr\u00e8s diff\u00e9rente du reste. Tout le contraire de la seconde notion, celle de m\u00e9diane, qui est la valeur qui partage l’ensemble des donn\u00e9es rang\u00e9es par ordre croissant en deux sous-ensembles de m\u00eame effectif, et qui par nature m\u00eame est compl\u00e8tement insensible aux valeurs extr\u00eames. En guise d\u2019illustration, supposons que 5 personnes \u00e2g\u00e9es de 84, 85, 87, 88 et 41 ans soient mortes \u00e0 la suite d\u2019une infection Covid-19. L\u2019\u00e2ge m\u00e9dian est de 85 ans, tandis que l\u2019\u00e2ge moyen correspond \u00e0 77 ans. Lire la moyenne d\u2019\u00e2ge des personnes mortes du Covid-19 n\u2019est donc absolument pas la m\u00eame chose que lire l\u2019\u00e2ge m\u00e9dian. Et sans connaissance pr\u00e9alable, on risque d\u2019en tirer de fausses conclusions, comme par exemple d\u2019estimer que l\u2019\u00e2ge des patients d\u00e9c\u00e9d\u00e9s se situe plus proche de 75 que de 85 ans. Pour un m\u00e9decin, une diff\u00e9rence de 10 ans pour une cohorte de patients souffrant d\u2019une maladie contagieuse comme le Covid-19 repr\u00e9sente une diff\u00e9rence \u00e9norme pour leur prise en charge concernant les m\u00e9dicaments et les traitements.<\/p>\n

\nLa fameuse croissance exponentielle et le temps de doublement<\/h3>\n

Les premi\u00e8res semaines de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie, on parlait d\u2019une croissance exponentielle du nombre d\u2019infect\u00e9s d\u00e9tect\u00e9s, d\u00e9clenchant une vague incontr\u00f4lable de patients dans les unit\u00e9s de soins intensifs des \u00e9tablissements hospitaliers, ce \u00e0 quoi aucun syst\u00e8me sanitaire ne peut se pr\u00e9parer \u00e0 court terme. La croissance exponentielle peut donner une fausse sensation de contr\u00f4le de la situation.\u00a0 Car au d\u00e9but, elle peut afficher des nombres tr\u00e8s mod\u00e9r\u00e9s. Prenons une infection avec une croissance quotidienne de facteur 2 (autrement dit, chaque jour le nombre d’infect\u00e9s double par rapport \u00e0 la veille). Si on commence avec une personne infect\u00e9e (le fameux patient z\u00e9ro) le premier jour, on en aura 2 le deuxi\u00e8me jour, puis 4 le troisi\u00e8me le jour, puis 8 le quatri\u00e8me jour, puis 16, puis 32, puis 64, puis 128, … et au bout de seulement 11 jours, on en est d\u00e9j\u00e0 \u00e0 plus de 1000 infect\u00e9s !<\/p>

Ces nombres montrent bien pourquoi les experts n\u2019ont cess\u00e9 de dire qu\u2019il fallait absolument stopper la croissance exponentielle. Ils soulignent \u00e9galement \u00e0 quel point il est crucial d’\u00eatre capable de comprendre ce type de croissance\u00a0: un sentiment de s\u00e9curit\u00e9 au d\u00e9but peut presque d\u2019un jour \u00e0 l\u2019autre se transformer en une sensation de panique devant les lourdes cons\u00e9quences dues \u00e0 une r\u00e9action forc\u00e9ment trop lente car d\u00e9pass\u00e9e par les \u00e9v\u00e9nements.<\/p>

L\u2019exemple de croissance exponentielle que nous venons de discuter nous am\u00e8ne directement au concept de temps de doublement, qui \u00e9tait de 1 jour dans notre exemple fictif. Ce temps est d\u00e9fini comme la dur\u00e9e qui s\u2019\u00e9coule jusqu\u2019\u00e0 ce qu\u2019une quantit\u00e9 d\u2019int\u00e9r\u00eat, ici le nombre d\u2019infect\u00e9s d\u00e9tect\u00e9s, double. Dans le cas du Covid-19, un jour ne serait bien s\u00fbr pas acceptable. Par contre, un temps de doublement de l’ordre de 18 jours est tol\u00e9rable. Le nombre total d\u2019infect\u00e9s restera le m\u00eame, mais le temps jusqu\u2019\u00e0 l\u2019atteindre diff\u00e8rera \u00e9norm\u00e9ment et permettra au syst\u00e8me sanitaire de faire face. Car les personnes infect\u00e9es qui auront besoin de soins intensifs ne se rendront pas \u00e0 l\u2019h\u00f4pital en m\u00eame temps, mais sur une p\u00e9riode de temps bien plus \u00e9tal\u00e9e (pendant laquelle, on l\u2019esp\u00e8re, un vaccin ou au moins un m\u00e9dicament efficace pourrait aussi \u00eatre d\u00e9velopp\u00e9). Il s\u2019agit l\u00e0 pr\u00e9cis\u00e9ment de la strat\u00e9gie \u00ab\u00a0Flatten the curve\u00a0\u00bb.<\/p>\n

\nQuid du fameux mod\u00e8le su\u00e9dois\u00a0?<\/h3>\n

M\u00eame si la probabilit\u00e9 de d\u00e9c\u00e9der du Covid-19 est relativement au niveau individuel, le bilan humain \u00e0 l’\u00e9chelle d’une population enti\u00e8re peut \u00eatre important, comme les images de Bergamo en Lombardie nous l’ont malheureusement montr\u00e9. Sans mesures strictes, le nombre de morts cumul\u00e9s du Covid-19 serait bien plus important au Luxembourg. Il est bon dans ce contexte de jeter un coup d\u2019\u0153il \u00e0 la strat\u00e9gie suivie par les Su\u00e9dois, qui ont suivi une approche tout \u00e0 fait diff\u00e9rente de la n\u00f4tre. Si le Luxembourg avait le m\u00eame nombre de morts par rapport \u00e0 la taille de sa population (626\u2019108 habitants selon le STATEC, janvier 2020) que la Su\u00e8de, nous aurions eu plus de 260 au lieu de 110 morts en date du 27 mai 2020. Nous passons donc des calculs math\u00e9matiques \u00e0 des questions d\u2019\u00e9thique que la politique doit trancher en connaissance de cause.<\/p>\n

\nPr\u00e9valence du virus et \u00e9chantillon repr\u00e9sentatif<\/h3>\n

Une grande question dans le d\u00e9bat actuel est le nombre r\u00e9el d\u2019infect\u00e9s, et pas seulement l\u2019ensemble des personnes d\u00e9tect\u00e9es positives. Il s’agit ici de conna\u00eetre la pr\u00e9valence du virus dans la population. L\u2019\u00e9tude CON-VINCE, mise sur pied par la Task Force Research Luxembourg COVID-19, est pr\u00e9cis\u00e9ment destin\u00e9e \u00e0 nous fournir cette information importante. Pour cela, une \u00e9tape cruciale est de r\u00e9unir un \u00e9chantillon repr\u00e9sentatif, c’est-\u00e0-dire un \u00e9chantillon de plus de 1800 personnes adultes choisies de telle fa\u00e7on \u00e0 ce qu\u2019elles repr\u00e9sentent une sorte de population miniature de la population totale du Luxembourg, en termes de structure d\u2019\u00e2ge, de sexe, et de localisation g\u00e9ographique. L\u2019id\u00e9e ici est exactement la m\u00eame que lors de sondages politiques\u00a0: \u00e0 partir des r\u00e9sultats d\u2019un tel sondage, on cherche \u00e0 estimer combien de votes un tel parti obtiendrait dans l\u2019ensemble de la population lors des prochaines \u00e9lections. Les r\u00e9sultats que nous lisons dans les journaux suite aux sondages sont typiquement des intervalles du type [10.7%, 12.3%] avec 5% de marge d\u2019erreur, et il en sera de m\u00eame pour l\u2019\u00e9tude de pr\u00e9valence\u00a0: on trouverait par exemple que le virus a atteint [1.9%, 2.5%] (nombres fictifs) de la population avec 95% de confiance. Ces intervalles sont bien connus en statistique et s\u2019appellent intervalles de confiance. Ils indiquent que la vraie valeur inconnue (popularit\u00e9 du parti\/pr\u00e9valence du virus dans l\u2019ensemble de la population) se trouve dans cet intervalle avec une marge d\u2019erreur de 5%, ce qui signifie que 95 sur 100 sondages produiront un intervalle qui contiendra la vraie valeur (bien s\u00fbr les 95% peuvent \u00eatre remplac\u00e9s par n\u2019importe quel pourcentage souhait\u00e9, ce qui changera l\u2019intervalle par cons\u00e9quent). Ce r\u00e9sultat permet donc de quantifier l\u2019incertitude due au fait que, dans les deux cas, on ne consid\u00e8re qu\u2019un \u00e9chantillon de l\u2019ensemble de la population, et que l\u2019estimation est donc n\u00e9cessairement entach\u00e9e d\u2019erreurs. Ces intervalles de confiance sont obtenus par des outils issus de la statistique math\u00e9matique que nous n\u2019allons pas exposer ici, notre but ayant \u00e9t\u00e9 d\u2019expliquer le concept d\u2019intervalles de confiance afin d\u2019en simplifier la compr\u00e9hension.<\/p>

Nous voulons express\u00e9ment souligner l\u2019importance d\u2019un \u00e9chantillon repr\u00e9sentatif. Si cet \u00e9chantillon est bien choisi, il permet de tirer les bonnes conclusions sans n\u00e9cessiter une connaissance sur l\u2019ensemble de la population. Un bon exemple en sont les \u00e9lections am\u00e9ricaines de 2012 o\u00f9 le statisticien Nate Silver a su pr\u00e9dire correctement le vainqueur dans chacun des 50 \u00c9tats et ainsi la victoire de Barack Obama sur Mitt Romney. En guise de mauvais exemple, les instituts de sondages se sont lourdement tromp\u00e9s dans les \u00e9lections fran\u00e7aises de 2002 o\u00f9 ils n\u2019ont pas vu venir l\u2019arriv\u00e9e de Jean-Marie Le Pen au second tour, pronostiquant un second tour Jacques Chirac vs Lionel Jospin. Selon le journaliste fran\u00e7ais Emmanuel Kessler, cela est d\u00fb \u00e0 des \u00e9chantillons insuffisamment repr\u00e9sentatifs : \u00ab une frange de la population n\u2019a pas \u00e9t\u00e9 interrog\u00e9e : il s\u2019agit de la cat\u00e9gorie la moins dipl\u00f4m\u00e9e, la plus populaire, la moins cultiv\u00e9e. Cet \u00e9l\u00e9ment majeur explique, sans doute, les erreurs. \u00bb L\u2019impact de l\u2019\u00e9tude CON-VINCE est donc intimement li\u00e9 \u00e0 la strat\u00e9gie de s\u00e9lection d\u2019individus; si ceux-l\u00e0 repr\u00e9sentent bien la population du Luxembourg (ou les diff\u00e9rents contingents dont parle la politique) et que les donn\u00e9es r\u00e9colt\u00e9es sont fiables, alors la pr\u00e9valence avec ses marges d\u2019erreur peut \u00eatre bien quantifi\u00e9e et nous fournir les informations n\u00e9cessaires \u00e0 un meilleur contr\u00f4le de la situation.<\/p>\n

\nPr\u00e9diction du d\u00e9veloppement futur de l\u2019\u00e9pid\u00e9mie<\/h3>\n

La th\u00e9orie des probabilit\u00e9s et la statistique sont les domaines math\u00e9matiques qui \u00e9tudient l\u2019al\u00e9atoire et quantifient les incertitudes. Nous venons de discuter ci-dessus le concept d\u2019intervalle de confiance, qui en est un bon exemple : quantifier l\u2019incertitude, c’est dire qu\u2019avec 90, 95 ou 99%, nous sommes s\u00fbrs que la vraie valeur inconnue se trouve dans un certain intervalle. Certaines situations al\u00e9atoires sont faciles \u00e0 comprendre et donc \u00e0 quantifier, comme par exemple le lancer d\u2019une pi\u00e8ce de monnaie\u00a0: avec 50% de chance elle tombera sur pile, et avec 50% sur face. Le r\u00e9sultat d\u2019un lancer reste bien s\u00fbr tout \u00e0 fait al\u00e9atoire, mais nous sommes n\u00e9anmoins en mesure de d\u00e9crire math\u00e9matiquement notre incertitude. La recherche actuelle en th\u00e9orie des probabilit\u00e9s et en statistique s\u2019occupe \u00e9videmment de situations beaucoup plus compliqu\u00e9es, comme par exemple pr\u00e9dire l\u2019\u00e9tat de sant\u00e9 d\u2019une personne sur la base de son profil bio-mol\u00e9culaire, qui comporte des milliers de variables comme les expressions g\u00e9n\u00e9tiques de l\u2019ADN. Cela passe par la cr\u00e9ation de nouveaux outils math\u00e9matiques toujours plus \u00e9volu\u00e9s, m\u00eame si fondamentalement l\u2019id\u00e9e reste la m\u00eame\u00a0: comprendre, d\u00e9crire et quantifier l\u2019al\u00e9atoire, voire l\u2019incertitude. Dans une situation comme la pr\u00e9sente pand\u00e9mie, il est extr\u00eamement difficile de pr\u00e9dire quand le virus s\u2019arr\u00eatera, ou comment le nombre d\u2019infect\u00e9s se d\u00e9veloppera maintenant que les mesures du confinement sont successivement lev\u00e9es, ou encore quel sera l\u2019impact de la r\u00e9ouverture du secteur Horesca. Nous sommes loin d’avoir des certitudes. Il est cependant possible, gr\u00e2ce au d\u00e9veloppement de mod\u00e8les math\u00e9matiques repr\u00e9sentant au mieux possible notre population et ses habitudes, de simuler un grand nombre de fois l\u2019avenir des semaines qui viennent. Gr\u00e2ce \u00e0 ces nombreuses simulations, il est possible de pr\u00e9dire le sc\u00e9nario le plus vraisemblable, ainsi qu’un sc\u00e9nario optimiste et un sc\u00e9nario pessimiste. Mais rappelons-le encore une fois\u00a0: tout sc\u00e9nario est al\u00e9atoire, vu que nul ne conna\u00eet le futur avec certitude. Ceci \u00e9tant, les hypoth\u00e8ses qui alimentent les diff\u00e9rents sc\u00e9narios permettent de pr\u00e9parer le futur. Ce sont ces sc\u00e9narios-l\u00e0 que les chercheurs de la Task Force Research Luxembourg COVID-19 sont constamment en train de perfectionner et qu\u2019ils pr\u00e9sentent aux divers minist\u00e8res afin de les soutenir dans leurs prises de d\u00e9cisions.<\/p>

Avec cet article, nous esp\u00e9rons avoir pu \u00e9claircir certaines notions statistiques li\u00e9es \u00e0 la pand\u00e9mie actuelle, et avoir montr\u00e9 l\u2019utilit\u00e9 et peut-\u00eatre aussi la beaut\u00e9 des math\u00e9matiques. Notre ambition est d\u2019impulser un changement dans la mani\u00e8re de penser, \u00e0 savoir changer la peur devant cette mati\u00e8re en un int\u00e9r\u00eat l\u00e9gitime. Nous souhaitons surtout encourager les jeunes pour qui les maths joueront un r\u00f4le encore plus primordial que pour les anciennes g\u00e9n\u00e9rations, suite aux avanc\u00e9es technologiques d\u2019un monde digital mais \u00e9galement au vu des sujets actuels et futurs comme le changement climatique ou un autre nouveau virus. Apprendre \u00e0 comprendre des ph\u00e9nom\u00e8nes inconnus devient plus important que de savoir apprendre des ph\u00e9nom\u00e8nes connus. Ce d\u00e9fi demande aussi une \u00e9volution de la p\u00e9dagogie, sur comment enseigner les math\u00e9matiques. Afin de donner envie de d\u00e9couvrir le pourquoi au lieu de r\u00e9p\u00e9ter le comment.<\/p>

Les auteurs remercient Yannick Baraud et Giovanni Peccati pour des \u00e9changes fructueux et des remarques qui ont contribu\u00e9 \u00e0 la lisibilit\u00e9 de l\u2019article. <\/i><\/p>

Un article publi\u00e9 \u00e0 l’origine dans le Tageblatt<\/a>.<\/i><\/p>

Prof. Dr. Christophe Ley, D\u00e9partement de Math\u00e9matiques Appliqu\u00e9es, d\u2019Informatique et de Statistique, Universit\u00e9 de Gand<\/p>

Prof. Dr. Ivan Nourdin<\/a>, D\u00e9partement de Math\u00e9matiques<\/a>, Universit\u00e9 du Luxembourg<\/p>

Dipl-Ing, M.B.A. Pierre Mangers, MANGHINI Consulting \u2013 CEO and Business Owner<\/p><\/div><\/section>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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